Il numero aureo ne Larte de labbacho

di Quirino Alessandro Bortolato

Premessa

La matematica è sempre stata insegnata nelle scuole di abaco da insegnanti che preparavano i bambini di sesso maschile alle pratiche aritmetiche, finalizzate al loro impiego in ambito commerciale.

Nel Medio Evo gli scolari erano costretti a ripetere gli insegnamenti dei loro docenti fintantoché imparavano a memoria i metodi della soluzione dei vari problemi.

Non usavano libri perché il costo delle trascrizioni a mano era veramente alto: i testi manoscritti erano usati solo dai loro insegnanti.

La comunicazione degli argomenti matematici seguì questa prassi fino al momento in cui non comparve l’arte della stampa a caratteri mobili, che permise la riproduzione di manuali a costi molto più contenuti e che facilitò in questo modo la trasmissione delle conoscenze matematiche necessarie per una professione molto importante per l’economia del territorio.

Il primo manuale di matematica contenente argomenti aritmetici e commerciali fu stampato, senza autore e senza titolo, a Treviso, e vide la luce il 10 dicembre 1478: si tratta di una primizia assoluta a livello mondiale di Treviso.

Mentre l’autore è ignoto, lo stampatore fu Geraert van der Lys, più noto come Gerardo de Lisa o Gerardus de Flandria (Harlebeke, 1430?-Udine, 1499?), attivo a Treviso in diversi periodi fra il 1471 ed il 1494.

Il contenuto del manuale, composto di 123 pagine non numerate (pag. 1 recto-pag. 62 recto), riguarda le operazioni aritmetiche fondamentali e la “regola delle tre cose” (ricerca del quarto proporzionale), la loro applicazione alla soluzione di problemi commerciali di vario tipo, e si chiude con il calcolo del numero d’oro nella parte finale, assieme a tavole riassuntive di equivalenze tra varie unità di misura, in quattro pagine dedicate agli ecclesiastici limitatamente al numero aureo e all’età della luna.

Tra conoscenze astronomiche ed aritmetiche

Certamente l’argomento di cui parlo non è totalmente “gnomonico”, ma mi permetto di sottolineare che i calcoli presenti nel volume sono collegati con il tempo e la sua misurazione, effettuata mediante metodi legati ad osservazioni astronomiche.

L’ignoto autore de Larte de labbacho conosce bene gli argomenti astronomici collegati col numero aureo. È a conoscenza che il periodo di rotazione della Luna attorno al proprio asse è uguale a quello della sua rivoluzione attorno alla Terra (27 giorni 7 ore e 43 minuti primi), ma sa anche che, siccome la Terra si sposta lungo la sua orbita intorno al Sole, la Luna non ritorna in congiunzione con il Sole dopo questo periodo, ma circa due giorni più tardi. Il valore medio dell’intervallo di tempo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con il Sole è di 29 giorni 12 ore 44 minuti primi e 3 minuti secondi (rivoluzione sinodica o mese lunare o lunazione).

L’astronomo Metone di Atene scoprì nel V sec. a.C. l’esistenza di un ciclo lunare che ora porta il suo nome (ciclo di Metone o ciclo metonico o ciclo lunare): dopo 235 lunazioni le fasi della Luna tornano a ripetersi nei medesimi giorni dell’anno. Le 235 lunazioni fanno quasi esattamente 19 anni solari. Gli anni dell’Era Cristiana sono stati divisi in periodi di 19 anni, e a ciascun anno di ogni periodo è stato associato un numero naturale compreso fra 1 e 19. Il numero d’oro1 è quindi il numero dell’anno nel ciclo lunare preso in considerazione. Per trovare allora il numero d’oro relativo a qualsiasi anno, basta sommare 1 all’anno, e dividere la somma per 19: il resto di questa divisione dà il numero d’oro (se il resto è uguale a 0, il numero d’oro è 19). Un calcolo equivalente è dividere l’anno considerato per 19 ed aumentare di una unità il resto così ottenuto. Nell’incunabolo di Treviso si esegue questo calcolo.

Teniamo presente che siamo nel 1478 e che ci si riferisce al calendario giuliano, perché la Riforma gregoriana del calendario non è ancora stata promulgata da Papa Gregorio XIII (bolla Inter gravissimas, 24 febbraio 1582).

Il commento dell’astronomo Giuliano Romano (1923-2013)

L’incunabolo trevigiano del 1478 presenta inoltre una novità, almeno a livello trevigiano.

A conclusione della sua riedizione dell’incunabolo trevigiano, il famoso astronomo Giuliano Romano (1923-2013) sottolineò: “L’ultima parte del libro, dopo la quale segue una lista che illustra la conversione dei pesi e delle valute, tratta del numero aureo e della regola per trovare il plenilunio. Questo capitolo evidentemente è dedicato ai religiosi con lo scopo di dar loro la possibilità di calcolare la data della Pasqua. È molto interessante notare la precisione con la quale, in quell’epoca, era nota la lunghezza del mese sinodico (lunazione). Ricordando che un minuto equivale a 18 punti, questo periodo (vedi pagina 58 retto) corrisponde, secondo l’autore a 29 giorni, 12 ore, 44 minuti e 3,3 secondi. Esso differisce da quello vero solamente di meno di mezzo secondo (29d 12h 44m 2,8 s).

I calcoli che l’autore fa per ricavare la data del novilunio del mese di dicembre 1478 possono essere verificati con il seguente procedimento valido per il calendario giuliano che veniva usato nell’epoca.

Prima bisogna calcolare il resto (a = R19 (A)) della divisione della cifra indicante l’anno in discorso (A = 1478) per 19, cioè:

a = R19 (1478) = 15

(il numero d’oro è a + 1). Quindi si deve ottenere l’epatta E(A), cioè l’età della luna all’inizio dell’anno. Tale epatta si può calcolare con la seguente formula approssimativa:

E(A) = R30 (8 + 11 a)

dove però bisogna aggiungere all’espressione tra parentesi circa 1 giorno ogni tre secoli.2 Ricordando che nel 900 la quantità ammontava ad un giorno, verso il 1500 essa giunse a 3 giorni, cioè:

E (1478) = R30 (8 + 11 · 15 + 3) = 26

Quindi è necessario conoscere l’età della luna (e) nel giorno considerato che può essere calcolata nel seguente modo:

e (g/m/A) = R30 [g + E (m) + E (A)]

ove: g = giorno; m = mese (m = 1 in gennaio, … m = 12 in dicembre); A = anno; ed E (m) ha i seguenti valori:

E (1) = 0; E (2) = 1 ed E (m) = m – 3 se m > 2,

cioè:

E (12) = 9.

Quindi nel nostro caso:

e (24/12/1478) = R30 (24 + 9 + 26) = 29

L’età della luna il 24/12/1478 era di 29 giorni cioè il novilunio, come infatti dice l’autore”.3

Il testo originale contenuto nell’incunabolo trevigiano del 1478 è riportato alla fine di questo articolo.

Un messaggio pedagogico ancora attuale

Anche se questo protomanuale matematico trevigiano non ha avuto molta fortuna dal punto di vista editoriale (risulta accertata la sola edizione del 1478), tuttavia è didatticamente molto valido, soprattutto per il messaggio pedagogico che lascia.

Il manuale si chiude con l’aforisma: “Che zuova la virtù a chi non se affadicha? Niente” (Che giova il talento personale a chi non si impegna con lena? Niente).

Queste poche significative parole sono in sintonia con il messaggio che lo sconosciuto autore lascia ai suoi giovani interlocutori nel commiato: “Ecco miei carissimi fornita l’opera che voi avete con grande desiderio a me richiesta. Se la osserverete con tanto studio quanto l’hanno implorata i vostri ardenti desideri, non dubito che vi porterà incredibile frutto. Non è però che per tale offerta ardisca provocare alcuno in questa pratica dotto ed esperto (che a loro la mia dottrina non è utile), ma solo che sia utile a voi e a ciascuno che di tale erudizione sia desideroso come voi. E affinché ciò corrisponda al vostro voto (se non in tutto, almeno in parte), tuttavia vi prometto proprio quella sperata utilità dalla mia fatica da voi graziosamente ricevuta”.

1478-2028: a 550 anni dalla pubblicazione de Larte de labbacho

Nel 2028 ricorrerà il 550° anniversario della comparsa a livello mondiale del primo manuale di aritmetica.

Ho già pensato con alcuni amici di celebrare la data con iniziative culturali opportune: abbiamo quasi tre anni per mettere a fuoco qualche cosa che sia degno dell’avvenimento.

Anche gli gnomonisti potrebbero partecipare con la realizzazione di un orologio solare in un luogo significativo di Treviso.

Il motto da scrivere può benissimo essere quello con cui si chiude l’incunabolo: sarebbe un invito ad ogni persona che lo legge di usare virtuosamente il proprio tempo per il bene della società, a cominciare da quella trevigiana.

Fonti bibliografiche in ordine cronologico

  • B. BONCOMPAGNI, Intorno ad un trattato d’aritmetica stampato nel 1478, in «Atti dell’Accademia Pontificia de’ Nuovi Lincei», t. XVI, Vol. XVI (1862-63), pp. 1, 101, 301, 389, 503, 683, 909.
  • B. BONCOMPAGNI, Intorno ad un trattato d’aritmetica stampato nel 1478 Dissertazione di Baldassarre Boncompagni, Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, Roma 1866.
  • G. F. PICHI, Di un nuovo esemplare dell’Abbaco di Treviso del 1478 posseduto dalla biblioteca della R. Università di Bologna Studio bibliografico, Società Tipografica già Com­positori, Bologna 1888.
  • D. E. SMITH, Rara arithmetica, Ginn, Boston 1908.
  • G. LORIA, Storia della matematica, capitolo L’Aritmetica di Treviso del 1478, Hoepli, Milano 1929-1933, pp. 455-57.
  • G. RO­MANO, larte de labbacho, note introduttive di G. ROMANO, Canova, Treviso 1969.
  • F. D’ARCAIS-B. PORRO, L’aritmetica di Treviso Incommincia una practica molto bona et utile: a ciaschaduno chi vuole usare larte dela merchadantia, chiamata vulgarmente larte de labbacho, Tip. “Graf Nova”, Piazza S. Pancrazio 7, Roma 1969.
  • D. E. RHODES, La stampa a Treviso nel secolo XV, Quaderni di “Studi Trevisani”, 1, Biblioteca Comunale di Treviso, Treviso 1983.
  • G. T. BAGNI, L’aritmetica di Treviso, in Lo svi­luppo storico della matematica, a cura di B. D’AMORE e F. SPERANZA, I, Armando, Roma 1989.
  • G. T. BAGNI, I metodi pratici di sottrazione nei manuali di Aritmetica, in “La matematica e la sua didattica”, 4 (1994), pp. 364-373.
  • G. T. BAGNI, Numeri e operazioni nel Medioevo Larte de labbacho (L’aritmetica di Treviso, 1478), in “La matematica e la sua didattica”, 4 (1994), pp. 432-444.
  • G. T. BAGNI, Il primo manuale di matematica stampato al mondo Larte de labbacho (Treviso, 1478), in “Cassamarca”, 11, IX, 2, pp. 77-82.
  • G. T. BAGNI, Storia della matematica I. Dall’Antichità al Rinascimento. II. Dal Rinascimento ad oggi, Pitagora, Bologna 1996.
  • G. T. BAGNI, Dopo larte de labbacho Trattati scientifici e manuali didattici dal XV al XIX secolo nella storia della matematica, Quaderni dell’Ateneo di Treviso, Treviso 1998.
  • G. T. BAGNI-Q. BORTOLATO-G. ROMANO, Contributi scientifici in occasione della mostra 18-28 marzo 2000 “Manuali di matematica dal XIV al XIX secolo”, Ateneo di Treviso, Ed. Antilia, Treviso 2000.
  • Q. BORTOLATO, Treviso, 10 dicembre 1478: 16 anni prima della Summa di Luca Pacioli, in Before and after Luca Pacioli, Atti II Incontro Internazionale 17/18/19 Giugno 2011, Sansepolcro – Perugia – Firen­ze, a cura di E. HERNÁNDEZ-ESTEVE e M. MARTELLI, Sansepolcro 2011, n. 1 pp. 523-561.
  • Q. BORTOLATO, Fra Luca Pacioli, Baldassarre Boncompagni e Larte de labbacho, inLuca Pacioli Maestro di contabilità – Matematico – Filosofo della natura, Convegno Internazionale di Studi Luca Pacioli 1517/2017, 14, 15, 16, 17 Giugno 2017, Sansepolcro, Urbino, Perugia, Firen­ze, a cura di E. HERNÁNDEZ-ESTEVE e M. MARTELLI, Umbertide (PG) 2018, pp. 411-432.
  • Q. A. BORTOLATO (a cura di), Larte de labbacho Il primo libro di aritmetica stampato al mondo, Erickson, Trento 2022.

Il testo originale sul numero aureo contenuto ne Larte de labbacho (1478)

[pagina 57 verso]

La regola per trovare il numero aureo è questa. Dividi per 19 gli anni della Natività del nostro signore Gesù Cristo che corrono in quell’anno nel quale tu cerchi il numero aureo. E non menzionando il quoziente, considera il resto e aggiuntogli 1, il risultato è il numero aureo che tu cerchi per quell’anno.

Esempio.

Mettiamo che tu, o caro, voglia sapere quale è il numero aureo nell’anno presente, cioè del 1478.

Fa così.

1

1 7

7 4 5

1 4 7 8 ∫ 77

1 9 9

1

Ecco che avanza 15, aggiungi 1 e farà 16, e questo è il numero aureo del 1478.4

Nota che per mezzo di questo numero aureo si trova la luna nuova andando all’indietro nel calendario in questo modo: guarda in un calendario corretto nel mese nel quale tu vuoi sapere quando sarà la luna nuova:

[pagina 58 recto]

e dove tu troverai il numero aureo, il quarto giorno compreso contando all’insù sarà la luna nuova.

Ma metti bene a mente di avere un calendario nel quale il numero aureo è stato messo nei propri opportuni luoghi.5

Mettiamo il caso che tu voglia sapere quando sarà la luna nel mese presente, cioè in dicembre del 1478: vai a consultarlo e trovi il numero aureo citato, cioè 16, il quale si trova nel giorno 27, e allora comincia a contare da quel giorno in su dicendo uno, due, tre, quattro. Quindi, poiché questo quattro cade nel giorno 24 del mese predetto, cioè nella vigilia della Natività del nostro signore e salvatore Gesù Cristo, è segno che in quel giorno ci sarà la luna nuova.

E affinché tu sappia più ancora, cioè in quale giorno, in quale ora ed in quale punto la luna si farà, nota bene la regola seguente.

Ciascuna luna ha giorni 29 ore 12 e punti 793. E ciascuna ora ha punti 1080.6 E allora se tu vuoi sapere quando sarà la luna nel mese presente, cioè in dicembre del 1478, bisogna che tu sappia quando fu nuova nel mese prossimo passato, cioè in novembre: essa fu di giorni 25 ore 8 e punti 408. Saputo questo, metti sotto quei numeri, cioè sotto giorni 25 ore 8 punti 408, tutta la durata di una luna, la quale dura, come è stato detto di sopra, giorni 29 ore 12 e punti 793.

E metti questi numeri uno sopra l’altro, in modo che i giorni stiano sotto i giorni, le ore sotto le ore, e i punti sotto i punti, a questo modo:

25 8 408

29 12 793

[pagina 58 verso]

poi addiziona questi numeri cominciando dai punti, i quali forniscono la somma 1201. Quindi quando la somma dei punti passerà il numero di punti di una ora (come qui), scrivi sotto quelli ottenuti i punti di un’ora, che sono 1080 e, sottratti questi dalla somma eseguita, il resto, che è 121, rimane per i punti del mese presente con la condizione che tu porti, per i punti di un’ora sottratti, un’ora in più per le ore da aggiungere, cioè dopo 12: e saranno 13 e 8 farà 21, il numero delle ore. Perciò quando il numero delle ore passerà il numero delle ore di un giorno, che è 24 ore, sottratto 24 da quel numero, il resto rimane per numero delle ore, con quella condizione che tu devi portare in quell’occasione, un giorno in più del numero dei giorni, cioè 1, poi aggiungi i giorni, cioè 29, con 25 che è 54. Quindi nota che quando il numero di giorni passa il numero di tutti i giorni del mese passato (come è anche qui) che è novembre, esso ha giorni 30, togli i giorni del mese passato, cioè 30 dal numero di giorni aggiunti, cioè da 54, il resto che è 24 rimane per indicare il numero del giorno nel quale sarà la luna. E in questo modo saprai che la luna sarà nuova il dì 24 alle ore 21 ed a punti 121 di dicembre del 1478, come tu potrai intendere qui sotto:

25 8 408

29 12 793

54 21 1201

30 1080

24 21 121

Nota che quando il mese passato al mese di cui tu vuoi sapere la luna avrà giorni 31, sottrai 31 dalla

[pagina 59 recto]

somma di giorni aggiunti, e il resto rimarrà per numero del giorno nel quale si farà la luna. E quando il mese passato avrà 30 giorni, sottrai 30. E quando ne avrà 28 (come di febbraio), togline 28. E quando saranno 29 (come nel mese di febbraio quando l’anno è bisestile) sottrai 29 giorni.

Se tu vorrai sapere ovvero trovare quando la luna sarà nel mese di gennaio del 1479, metti il numero di giorni, ore e punti della luna che sarà o veramente sarà fatta in dicembre, e sotto quel numero ovvero quei numeri metti (come di sopra) il numero di giorni, ore e punti della luna, cioè giorni 29 ore 12 e punti 793.

Ed aggiungi e sottrai se sarà da sottrarre, come di sopra, e così troverai il risultato come qui:

24 21 121

29 12 793

54 33 914

31 24 0

23 9 914

Ecco che la luna sarà nuova nel gennaio del 1479 il dì 23 alle ore 9 ed a punti 914. Ed in questo modo tu potrai trovare per sempre in quale giorno, in quale ora ed in quale punto si farà la luna.

Nota molto bene che sempre tu devi sottrarre i giorni del mese prossimo passato a quello del quale tu cerchi di trovare la luna, e non di quello che tu cerchi. Come se tu vuoi sapere la luna di dicembre presente, sottrai dalla somma dei giorni il numero dei giorni del mese di novembre. E se tu vuoi trovare la luna del mese del prossimo gennaio sottrai il numero dei giorni del mese di dicembre e così degli altri mesi.

E queste due regole ti bastano circa la luna nuova.

1 Il numero d’oro è utilizzato per il calcolo della data della Pasqua cristiana, fissata dal Concilio di Nicea (325) alla domenica successiva al primo plenilunio dopo l’equinozio di primavera (termine pasquale). Infatti si consulta una tabella (valida però per intervalli di tempo limitati), nella quale ciascun numero d’oro è collegato con un altro numero: se questo è inferiore o uguale a 31, è la data di marzo del termine pasquale, mentre se è maggiore di 31, si sottrae da esso 31 ed il resto indica la data di aprile del termine pasquale.

2 Giuliano Romano indica con R19 e con R30 i resti di divisioni con divisori rispettivamente 19 e 30: cioè indica con Rn(D) il resto della divisione D : n. È quello che nei testi moderni viene indicato con mod. In generale, dati due numeri interi a (dividendo) ed n (divisore, n ≠ 0)), a (mod n) restituisce il resto r tale che a = qn + r, con 0 < r < |n|, essendo q il quoziente della divisione: r = a (mod n).

3 Larte de labbacho note introduttive di Giuliano Romano, Canova, Treviso 1997, p. [27], ristampa della prima edizione del 1969.

4 La divisione 1478 : 19 è eseguita col metodo detto “a battello” o “a galera” per la forma caratteristica dell’algoritmo: si presenta come una barca in cui lo scafo è formato dal dividendo 1478 e dal divisore 19 ripetuto due volte, la vela è formata dai resti parziali e dal resto finale 15, e il quoziente dal timone.

5 Questo argomento ha suscitato la curiosità dello storico della matematica Baldassarre Boncompagni Ludovisi (1821-1894), che in un suo rarissimo volume del 1866 si dilunga sul numero aureo per ben 284 pagine, da p. 439 a p. 723!, e fornisce un’enorme quantità di esempi e di elementi bibliografici, disquisendo da par suo, con la sua solita perfezionistica acribia, su giorni, ore e “puncti” della Luna, su calendari romani, gregoriani e perpetui e su ogni argomento ad essi collegato. La sua eruditissima ed approfondita dissertazione fa inoltre riferimento diretto ad autori ebrei e ad un numero rilevantissimo di testi ebraici, che l’autore impreziosisce perfino con numerosi caratteri alfabetici propri della lingua semita. Si consulti B. BONCOMPAGNI, Intorno ad un trattato d’aritmetica stampato nel 1478, Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, Via Lata N° 211 A, Roma 1866, pp. 439-723. Dello studio del 1866 citato esistono solo 4 volumi al mondo: nella Biblioteca Nazionale Marciana di Venezia, nella Biblioteca Apostolica Vaticana di Roma, nella Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek di Göttingen e nella Biblioteca Comunale Classense di Ravenna. Un microfilm del volume marciano è conservato presso la Biblioteca Comunale di Treviso.

6 Il tempo veniva misurato in giorni, ore e punti anziché in giorni, ore, minuti e secondi: ora 1 = punti 1080; minuti 60 = punti 1080 e 1 minuto = punti 18; 60 secondi = punti 18 e 1 secondo = punti . Inversamente, 1 punto = ore = minuti = secondi = secondi 3. Secondo questi valori, punti 793 equivalgono a minuti 44 secondi 3.

Note

  1. Il numero d’oro è utilizzato per il calcolo della data della Pasqua cristiana, fissata dal Concilio di Nicea (325) alla domenica successiva al primo plenilunio dopo l’equinozio di primavera (termine pasquale). Infatti si consulta una tabella (valida però per intervalli di tempo limitati), nella quale ciascun numero d’oro è collegato con un altro numero: se questo è inferiore o uguale a 31, è la data di marzo del termine pasquale, mentre se è maggiore di 31, si sottrae da esso 31 ed il resto indica la data di aprile del termine pasquale. ↩︎
  2. Giuliano Romano indica con R19 e con R30 i resti di divisioni con divisori rispettivamente 19 e 30: cioè indica con Rn(D) il resto della divisione D : n. È quello che nei testi moderni viene indicato con mod. In generale, dati due numeri interi a (dividendo) ed n (divisore, n ≠ 0)), a (mod n) restituisce il resto r tale che a = qn + r, con 0 < r < |n|, essendo q il quoziente della divisione: r = a (mod n). ↩︎
  3. Larte de labbacho note introduttive di Giuliano Romano, Canova, Treviso 1997, p. [27], ristampa della prima edizione del 1969. ↩︎
  4. La divisione 1478 : 19 è eseguita col metodo detto “a battello” o “a galera” per la forma caratteristica dell’algoritmo: si presenta come una barca in cui lo scafo è formato dal dividendo 1478 e dal divisore 19 ripetuto due volte, la vela è formata dai resti parziali e dal resto finale 15, e il quoziente dal timone. ↩︎
  5. Questo argomento ha suscitato la curiosità dello storico della matematica Baldassarre Boncompagni Ludovisi (1821-1894), che in un suo rarissimo volume del 1866 si dilunga sul numero aureo per ben 284 pagine, da p. 439 a p. 723!, e fornisce un’enorme quantità di esempi e di elementi bibliografici, disquisendo da par suo, con la sua solita perfezionistica acribia, su giorni, ore e “puncti” della Luna, su calendari romani, gregoriani e perpetui e su ogni argomento ad essi collegato. La sua eruditissima ed approfondita dissertazione fa inoltre riferimento diretto ad autori ebrei e ad un numero rilevantissimo di testi ebraici, che l’autore impreziosisce perfino con numerosi caratteri alfabetici propri della lingua semita. Si consulti B. BONCOMPAGNI, Intorno ad un trattato d’aritmetica stampato nel 1478, Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, Via Lata N° 211 A, Roma 1866, pp. 439-723. Dello studio del 1866 citato esistono solo 4 volumi al mondo: nella Biblioteca Nazionale Marciana di Venezia, nella Biblioteca Apostolica Vaticana di Roma, nella Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek di Göttingen e nella Biblioteca Comunale Classense di Ravenna. Un microfilm del volume marciano è conservato presso la Biblioteca Comunale di Treviso. ↩︎
  6. Il tempo veniva misurato in giorni, ore e punti anziché in giorni, ore, minuti e secondi: ora 1 = punti 1080; minuti 60 = punti 1080 e 1 minuto = punti 18; 60 secondi = punti 18 e 1 secondo = punti . Inversamente, 1 punto = ore = minuti = secondi = secondi 3. Secondo questi valori, punti 793 equivalgono a minuti 44 secondi 3. ↩︎